Home
Research
Teaching
Textbook

Contact me
Files
Links



Teaching
5A1306 Fysikens matematiska metoder, Del I - Övningsblogg - HT06


Nästa övning: Övningarna för läsåret 2006/2007 är slut. Lycka till på tentan!

Närmast följande övningar:
N/A

Övning nr:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Då lösningarna i kompendiet Tensoranalys är mer utförliga än de i kursboken finns här uppgifter och lösningar från kapitel 1 i detta kompendium. En del av uppgifterna är rena tensoruppgifter och kommer behandlas i slutet av kursen men många uppgifter handlar bara om kartesiska tensormetoder (indexräkning) för vektorer. Utdragen är från en uppdaterad version och erratan som finns på min hemsida gäller inte - hittar ni fel så är de således okända och jag blir tacksam om ni rapporterar dem.


Uppgifternas nummer refererar till motsvarande uppgiftsnummer i Vektoranalys (Ramgard).

Övning 1: Onsdag 30/8 2006 kl 10-12 - Inledande vektoranalys
Vi gick igenom grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Vi diskuterade tolkningen av gradienten samt gick igenom hur man beräknar linje- och flödesintegraler genom parametrisering av kurva respektive yta. Vi behandlade även hur man kan kontrollera om ett givet vektorfält har en potential och hur man i sådana fall kan beräkna denna.
De uppgifter som behandlades var:
  18, 26a, 28a, 34.

Övning 2: Torsdag 31/8 2006 kl 13-15 - Gauss och Stokes satser
Övningen ägnades åt att studera hur Gauss och Stokes satser kan appliceras på flödes- respektive linjeintegraler över slutna ytor och kurvor. Vi ägnade även tid åt en uppgift där vi kunde använda oss av Gauss sats för att beräkna en flödesintegral över en yta som inte var sluten (för att kunna applicera Gauss sats var vi här tvugna att lägga till en yta över vilken flödesintegralen blir enkel att lösa, i vårt fall en yta på vilken integranden blev noll).
De uppgifter som behandlades var:
  46, 47, 57, 60.

Övning 3: Måndag 4/9 2006 kl 13-15 - Indexräkning
Vi gick igenom hur indexräkning kan användas för att beräkna och skriva om vektoruttryck. Centrala begrepp så som symbolerna δij och εijk, samt Einsteins summationskonvention behandlades. Vi gick dessutom igenom en hel del användbara relationer så som ε-δ-relationen, ∂ir = xi/r, samt ∂irk = krk-2xi. Då hela dagens tänkta material inte hanns med har jag skrivit ihop lösningarna på de tal som inte hanns med, dessa återfinns i pdf-format nedan (uppgiftstalen är länkar).
De uppgifter som behandlades var:
  63abc, 64cdfg.
De uppgifter som inte hanns med var:
  65fh, 68.

Övning 4: Onsdag 6/9 2006 kl 10-12 - Universalintegralsatser
Vi använde oss av universalintegralsatser för att lösa ett antal olika uppgifter. Det gavs exempel på både hur man kan använda sig av universalintegralsatserna direkt och på hur man kan härleda dessa universalintegralsatser med utgångspunkt i Gauss och Stokes satser genom multiplikation med ei. Vi såg även ett exempel på när vi tvingades lägga till en term till integranden för att få en integrand på vilken vi kunde använda oss av en universalintegralsats.
De uppgifter som behandlades var:
  72, 74, 78, 86.

Övning 5: Torsdag 7/9 2006 kl 15-17 - Kroklinjiga koordinater
Vi avslutade delen om universalintegralsatser genom att göra en uppgift där vi fick använda oss av Stokes sats för att utföra ett bevis. Vi inledde delen om kroklinjiga koordinater med att lösa en uppgift där vi skulle behandla olika aspekter av de paraboliska koordinaterna - från basvektorer till koordinatlinjer och -ytor. Tyvärr hade vi inte tid över till att behandla tal 108, därför har jag typsatt lösningen som återfinns i PDF-format nedan.
De uppgifter som behandlades var:
  82, 143.
De uppgifter som inte hanns med var:
  108.

Övning 6: Onsdag 13/9 2006 kl 8-10 - Kroklinjiga koordinater, fortsättning
Vi fortsatte att behandla kroklinjiga koordinatsystem och gick in på hur man beräknar gradient, divergens och rotation i dessa. Vi gick även igenom hur man kan använda sig av Gauss sats för att beräkna flödesintegraler även när vektorfältet som integreras har singulariteter genom att utesluta singulariteten, använda Gauss sats på den del av problemet som inte har någon singularitet, samt slutligen beräkna en något enklare ytintegral som uppkommer på grund av singulariteten.
De uppgifter som behandlades var:
  147, 110, 120.

Övning 7: Torsdag 14/9 2006 kl 15-17 - Byte av integrationsområde
Övningen ägnades åt att gå igenom hur man kan byta integrationsområde i linje och kurvintegraler. Speciellt gick vi igenom linje och kurvintegraler där integranden innehåller en singularitet men rotationen respektive divergensen var noll utanför denna singularitet. I dessa fall får vi deformera integrationsområdet kontinuerligt utan att värdet på integralen ändras så länge vi inte låter integrationsområdet passera singulariteten. Vi löste också ett problem där vi skulle bestämma den elektrostatiska potentialen kring en laddad metallkula med given potential.
De uppgifter som behandlades var:
  119, 122, 123, 133.

Övning 8: Fredag 15/9 2006 kl 15-17 - Ytintegraler och särskilda vektorfält
Vi repeterade kort hur man går till väga för att lösa ytintegraler genom en direkt parametrisering. Efter att ha gjort detta studerade vi vissa viktiga vektorfält. Vi löste ett problem där vi fick öva på att känna igen fältet från en punktkälla placerad i en annan punkt än origo och sedan löste vi problem som involverade dipoler. Vi avslutade med att beräkna en ytinegral på två olika sätt, dels genom direkt beräkning och dels genom att använda oss av Gauss universalintegralsats för att byta integrationsyta.
De uppgifter som behandlades var:
  33ab, 115, 175, 179, 195.

Övning 9: Onsdag 27/9 2006 kl 10-12 - Laplace ekvation och kontinuitetsekvationen
Övningen ägnades till större delen åt att lösa Laplace ekvation för problem med olika symmetrier. Vi såg exempelvis hur dessa symmetrier ledde till att vi kunde dra slutsatsen att lösningarna var oberoende av vissa koordinater. Förutom Laplace ekvation härleddes även kontinuitetsekvationen i två dimensioner. Detta gjordes genom att vi studerade flödet in i och ut ifrån ett godtyckligt område. Slutligen löste vi Poissons ekvation för en icke-trivial källterm i form av ett homogent klot (vi beräknade jordens gravitationspotential).
De uppgifter som behandlades var:
  127, 128, 130, 132, 134.

Övning 10: Torsdag 28/9 2006 kl 10-12 - Tensoranalys I
Vi studerade olika aspektar av kartesiska tensorer. Vi gick igenom tensorers transformationegenskaper under byte från ett kartesiskt koordinatsystem till ett annat och visade att ett antal olika uttryck var invarianta under dessa koordinattransformationer (uttrycken kan beräknas i godtyckligt koordinatsystem med samma resultat). Vidare återkom vi till indexräkningen från tidigare i kursen då vi manipulerade vektoruttryck med hjälp av tensormetoder. Slutligen beräknade vi även ett antal olika uttryck som gavs i termer av Kroneckers delta δij och permutationssymbolen εijk.
De uppgifter som behandlades var (alla hämtade från uppgifterna ur kompendiet Tensoranalys, uppgifterna finns tillgängliga i början av bloggen):
  1.2a, 1.4a, 1.10, 1.12, 1.16.

Övning 11: Onsdag 4/10 2006 kl 15-17 - Tensoranalys II
Första delen av övningen ägnades åt att studera hur man kan använda sig av Gauss och Stokes satser för tensorer för att skriva om generella yt- respektive linjeintegraler som volyms- respektive ytintegraler. I övrigt studerade vi olika egenskaper hos andra ordningens tensorer som är invarianta under byte av koordinatsystem. Exempelvis visade vi att en tensor som är symmetrisk i ett koordinatsystem måste vara symmetrisk även i alla andra koordinatsystem. Slutligen gjorde vi ett par problem med viss fysikalisk anknytning.
De uppgifter som behandlades var (återigen från Tensoranalys):
  1.20ac, 1.24, 1.27, 1.14, 1.30.

Övning 12: Torsdag 5/10 2006 kl 8-10 - Genomgång av extenta
Övningen ägnades åt att lösa extentan från 2003-08-26 (finns tillgänglig på kurshemsidan) för att ge en slutlig genomgång av kursens alla delar.


This is a personal homepage
[disclaimer]


Last updated: Oct 5, 2006